Question

已知數(shù)列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

，…，計算S₁，S₂，S₃，由此推測計算S_n的公式，并證明．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：計算題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法,推理和證明

分析：S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

4

=

3

4

，猜想：S_n=1-

1

n+1

；利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答： 解：S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

，猜測S_n=

n

n+1

．
運用數(shù)學歸納法證明：當n=1時，S₁=

1

2

，S₁=

1

1×2

，等式成立，
假設當n=k時，S_k=

k

k+1

成立，
則當n=k+1時，S_k+1=S_k+

1

(k+1)(k+2)

=

k

k+1

+

1

k+1

-

1

k+2

=1-

1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
即當n=k+1時，等式也成立．
故對n∈N*，測S_n=

n

n+1

都成立．

點評：本題考查歸納推理，用數(shù)學歸納法證明等式，證明故當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關鍵．