Question

給定函數(shù)f（x）=x-

1

x

．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后利用奇偶函數(shù)的定義判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系；
（Ⅱ）先求出函數(shù)定義域?yàn)椋簒∈（-∞，0）∪（0，+∞），然后用定義證明當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋簒∈（-∞，0）∪（0，+∞）
f（-x）=-x+

1

x

=-f（x），函數(shù)是奇函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
證明：任取0＜x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=（ x₁-

1

x1

）-（x₂-

1

x2

）=

(x1x2+1)(x1-x2)

x1x2

＜0，即
∵0＜x₁＜x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷與證明；注意，判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)要首先判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．