Question

設(shè)拋物線C：y²＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，l與x軸交于點(diǎn)R，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)．

(1)若∠BFD＝120°，△ABD的面積為8，求p的值及圓F的方程；

(2)在(1)的條件下，若A，B，F三點(diǎn)在同一直線上，FD與拋物線C交于點(diǎn)E，求△EDA的面積．

Answer 1

解：(1)因?yàn)椤?i>BFD＝120°，|BF|＝|FD|，

所以∠FBD＝∠FDB＝30°，

在Rt△BRF中，因?yàn)閨FR|＝p，

所以|BF|＝2p，|BR|＝p.

在Rt△DRF中，同理有|DF|＝2p，|DR|＝p，

所以|BD|＝|BR|＋|RD|＝2p，

圓F的半徑|FA|＝|FB|＝2p.

由拋物線定義可知，A到l的距離d＝|FA|＝2p，

因?yàn)椤?i>ABD的面積為8，

所以|BD|·d＝8，

即×2p×2p＝8，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以F(1,0)，圓F的方程為(x－1)²＋y²＝16.

(2)因?yàn)?i>A，B，F三點(diǎn)在同一直線上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90°，

由拋物線定義知，|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，

直線DF的斜率k＝tan 60°＝，其方程為y＝(x－1)，

解方程組得

d′＝|DR|－|y_E|＝2－＝，

所以S_△EDA＝|DA|·d′＝×4×＝.