Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點F的直線l₁與橢圓交于A、B，過F與直線l₁垂直的直線l₂與橢圓交于C、D，與直線l₂：x=4交于P．
①求四邊形ABCD面積的最小值；
②求證：直線PA，PF，PB的斜率k_PA，k_PF，k_PB成等差數(shù)列．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,等差數(shù)列的通項公式,直線的斜率,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，可得a²=

4

3

b²，利用橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，求出b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）①分類討論，設出方程代入橢圓方程，利用基本不等式，即可求四邊形ABCD面積的最小值；
②分類討論，設出方程，證明k_PA+k_PB=2k_PF，即可證明直線PA，PF，PB的斜率k_PA，k_PF，k_PB成等差數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

4

，∴a²=

4

3

b²，
∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．
∴b=

6

12+(-1)2

=

3

，
∴a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）①斜率不存在時，方程為x=1，
代入橢圓方程可得y=±

3

2

，
∴|AB|=3，|CD|=2a=4，
∴四邊形ABCD面積為

1

2

×3×4=6；
斜率不為0時，方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理|CD|=

12(1+k2)

4+3k2

，
∴

1

|AB|

+

1

|CD|

=

12(1+k2)

3+4k2

+

12(1+k2)

4+3k2

=

7

12

≥2

1 |AB||CD|

，
∴|AB||CD|≥

122×4

49

，
∴S_ABCD=

1

2

|AB||CD|≥

1

2

×

122×4

49

=

288

49

，
∵

288

49

＜6，
∴四邊形ABCD面積的最小值為

288

49

；
②l₁的斜率存在時，則直線l₂的方程為y=-

1

k

（x-1）．
令x=4，則P（4，-

3

k

），
∴k_PA+k_PB=

y1+ 3 k

x1-4

+

y2+ 3 k

x2-4

=

k(x1-1)

x1-4

+

k(x2-1)

x2-4

+

3

k

×

x1+x2-8

(x1-4)(x2-4)

=-

2

k

=2k_PF．
l₁的斜率不存在時，由對稱性知，k_PA+k_PB=2k_PF．
∴直線PA，PF，PB的斜率k_PA，k_PF，k_PB成等差數(shù)列．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．