【題目】已知離心率為的橢圓
的左頂點為A,且橢圓E經(jīng)過
與坐標軸不垂直的直線l與橢圓E交于C,D兩點,且直線AC和直線AD的斜率之積為
.
(I)求橢圓E的標準方程;
(Ⅱ)求證:直線l過定點.
【答案】(I);(II)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)離心率,可得的關系,代入解析式,代入
的坐標,即可求得
,進而得橢圓的標準方程.
(Ⅱ)設出直線的方程
,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)有兩個不同的交點可知
,利用韋達定理表示出
,由直線AC和直線AD的斜率之積為
可得關于
和
的方程,即可求得
和
的關系,代入直線方程即可求得所過定點的坐標;也可將方程設為
,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)有兩個不同的交點可知
,利用韋達定理表示出
,由直線AC和直線AD的斜率之積為
可得關于
和
的方程,化簡求得
的值,即可求得所過定點的坐標.
(I)
又橢圓E經(jīng)過點
橢圓E的標準方程為
(II)方法一:的方程為
,
設,
聯(lián)立方程組,
化簡得,
由解得
,
且.
,
,
化簡可得:
或
(舍),滿足
直線l的方程為
,
直線l經(jīng)過定點
方法二:設l的方程為,
設,
聯(lián)立方程組,
化簡得,
解得:
,
且
,
,
化簡可得:
或者
(舍)滿足
直線l經(jīng)過定點
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面是邊長為
的菱形,
,點E是棱BC的中點,
,點P在平面ABCD的射影為O,F(xiàn)為棱PA上一點.
1
求證:平面
平面BCF;
2
若
平面PDE,
,求四棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,圓
的普通方程為
.在以坐標原點為極點,
軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線
的極坐標方程為
.
(1)寫出圓的參數(shù)方程和直線
的直角坐標方程;
(2)設點在
上,點Q在
上,求
的最小值及此時點
的直角坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐的四個頂點都在球
的表面上,
平面
,
,
,
,
,則:(1)球
的表面積為__________;(2)若
是
的中點,過點
作球
的截面,則截面面積的最小值是__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,
為其焦點,
為其準線,過
任作一條直線交拋物線于
兩點,
、
分別為
、
在
上的射影,
為
的中點,給出下列命題:
(1);(2)
;(3)
;
(4)與
的交點的
軸上;(5)
與
交于原點.
其中真命題的序號為_________.
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