Question

已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2 2

3

，M為橢圓上一點(diǎn)，P（0，a），求PM的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：首先利用離心率

c

a

=

2 2

3

，把橢圓方程轉(zhuǎn)化為：x²+9y²=9b²，進(jìn)一步利用兩點(diǎn)間的距離求出|PM|的關(guān)系式，最后用二次函數(shù)的最值進(jìn)行求最大值．

解答： 解：設(shè)M（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2 2

3

，
則：e=

c

a

=

2 2

3

根據(jù)橢圓中a²=b²+c²
解得：

b

a

=

1

3

，
所以橢圓方程轉(zhuǎn)化為：x²+9y²=9b²，
x²=9b²-9y²，
由于P（0，a）
則：|PM|=

(x-0)2+(y-a)2

=

-8y2-2ay+a2+9b2

=

-8y2-2ay+2a2

，
要求|PM|_max只需求出(

-8y2-2ay+2a2

)max即可，
進(jìn)一步只要求出g（y）=-8y²-2ay+2a²的最大值即可．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和-b≤y≤b的取值范圍，
解得：當(dāng)y=-

a

8

時，g(y)max=

34

4

a，
即M（±

55

8

a，-

a

8

），g(y)max=

34

4

a，
即|PM|的最大值為：

34

4

a．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：離心率在橢圓方程中的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離公式，及二次函數(shù)的最值問題．