Question

【題目】已知拋物線的焦點為，為坐標原點，過點的直線與交于、兩點.

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與軸的交點為，且，，試探究：是否為定值.若為定值，求出該定值，若不為定值，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值.

【解析】

（1）對直線的斜率是否存在進行分類討論，由直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于半徑，進而可求得直線的方程；

（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，可知當直線的斜率不存在時不滿足題意，在直線的斜率存在時，設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用向量的坐標運算得出關于、的表達式，代入韋達定理化簡計算可求得的值.

（1）由已知得.

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與圓相交，不合乎題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，

由直線與圓相切，得，解得.

綜上所述，直線的方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意；

當直線與軸不重合時，設直線的方程為，設、.

若，則直線與軸平行，不合乎題意，所以.

聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，

易知，由，得，

則，，同理可得，

所以，

所以為定值.