Question

如圖所示，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB₁＝3a，D為A₁C₁的中點，E為B₁C的中點．

(1)求直線BE與A₁C所成的角；

(2)在線段AA₁上是否存在點F，使CF⊥平面B₁DF？若存在，求出||；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖，建立空間直角坐標系． 　　∵AC＝2a，∠ABC＝90°， 　　∴AB＝BC＝． 　　∴B(0，0，0)，C(0，，0)，A(，0，0)， 　　A1(，0，3a)，C1(0，，3a)，B1(0，0，3a)， 　　∴D(a，a，3a)，E(0，a，a)． 　　∴＝(a，－a，3a)， 　　＝(0，a，a)． 　　∴||＝，||＝． 　　∴·＝0－a2＋． 　　∴cos＝． 　　故BE與A1C所成的角為arccos． 　　(2)假設(shè)存在點F，要使CF⊥平面B1DF，只要⊥且⊥， 　　不妨設(shè)AF＝b，則F(，0，b)，＝(，b)，＝(，0，b－3a)，＝(a，a，0)． 　　∵·＝a2－a2＝0， 　　∴⊥恒成立． 　　由⊥，得·＝0，即2a2＋b(b－3a)＝0． 　　∴b＝a或b＝2a． 　　故當(dāng)||＝a或2a時，CF⊥平面B1DF．

提示：

求異面直線所成的角為常規(guī)問題，比較簡單．第(2)問為探索性問題，通常有兩種方法：(1)猜出結(jié)論(點F的位置)．然后證明；(2)利用計算的方法直接求出該點位置．方法(1)偶然性較強，因為必須“猜中”點的位置，否則將無法進行下去，方法(2)比較穩(wěn)妥．