【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是菱形,
,側棱
面
,
.
(1)若是
的中點,求
與
所成的角;
(2)設是
上一點,過
的平面將四棱柱
分成體積相等的兩部分,求
.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)設菱形的邊長為單位1,則
.取
的中點
,連接
.可得
(或其補角)就是
與
所成的角.在
中求出這個角即可;
(2)作出過的平面與側面
的交線為
.可證得
,設
,
,多面體
的體積等于三棱錐
與四棱錐
的體積之和,由此求得
,可得
.
設菱形的邊長為單位1,則
.
(1)取的中點
,連接
.
∵是
是中點,∴
,
,
,
(或其補角)就是
與
所成的角.
∵面
,∴
面
,而
面
,∴
.
在中,因為
,
,
所以,即
.
從而在中,
,故
.
∴異面直線與
所成的角的60°.
(2)如圖,設過的平面與側面
的交線為
.
∵,
不在平面
內,∴
面
,∴
,于是
.
連接,
,
,設
,
,
則直角梯形中,
,其面積
.
過在平面
內作
,
是垂足,在等邊三角形
中,
.
∵面
,∴
,得
面
,
多面體的體積
,
∴,
(舍去大于1的).
由,得
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在
上為增函數(shù),求
的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點,記作
,
,且
,證明:
(
為自然對數(shù)).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若直線為曲線
的一條切線,求實數(shù)
的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上為單調函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(3)設,若
在定義域上有極值點(極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值),求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧時粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食?( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)
在點
處的切線斜率為0.
(1)試用含有的式子表示
,并討論
的單調性;
(2)對于函數(shù)圖象上的不同兩點
,
,如果在函數(shù)
圖象上存在點
,使得在點
處的切線
,則稱
存在“跟隨切線”.特別地,當
時,又稱
存在“中值跟隨切線”.試問:函數(shù)
上是否存在兩點
使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出
的坐標,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,如果年返修率不超過千分之一,則其生產(chǎn)部門當年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司2011-2018年的相關數(shù)據(jù)如下表所示:
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年生產(chǎn)臺數(shù)(萬臺) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
該產(chǎn)品的年利潤(百萬元) | 2.1 | 2.75 | 3.5 | 3.25 | 3 | 4.9 | 6 | 6.5 |
年返修臺數(shù)(臺) | 21 | 22 | 28 | 65 | 80 | 65 | 84 | 88 |
部分計算結果:
|
注:年返修率=
(1)從該公司2011-2018年的相關數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù),求
的分布列和數(shù)學期望;
(2)根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大,如果去掉該年的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(百萬元)關于年生產(chǎn)臺數(shù)
(萬臺)的線性回歸方程(精確到0.01).
附:線性回歸方程中,
,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中,,
,現(xiàn)將
沿BD折起,則當直線AD與平面BCD所成角為
時,直線AC與平面ABD所成角的正弦值為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在梯形中,
,
,
,過
,
分別作
的垂線,垂足分別為
,
,已知
,
,將梯形
沿
,
同側折起,使得平面
平面
,平面
平面
,得到圖2.
(1)證明:平面
;
(2)求三棱錐的體積.
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