Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）求證：平面平面；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得二面角的余弦值為？若存在，試求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或.

【解析】

試題（1）取的中點(diǎn)，連接，先證明四邊形為平行四邊形，再證明平面，進(jìn)而可得平面平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，結(jié)合平面一個(gè)法向量為，利用空間向量夾角的余弦公式列出關(guān)于的方程即可求解.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接，

∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴．

又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形．

∵，∴平面，∴，∴，

∵，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）存在符合條件的，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，從而，則平面的一個(gè)法向量為，

又平面即為平面，其一個(gè)法向量為，

則，

解得或，故或．