Question

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l₁：y=-1，過(guò)定點(diǎn)F與直線l₁相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)C．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線l₂交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R，求

RP

•

RQ

最小值，并求此時(shí)的直線l₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)G到點(diǎn)F的距離等于它到l₁的距離，依據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)G的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而求得其軌跡方程．
（2）設(shè)出直線l₂的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)R的坐標(biāo)，表示出

RP

•

RQ

，根據(jù)均值不等式求得其最小值．

解答： 解：（1）由題設(shè)點(diǎn)G到點(diǎn)F的距離等于它到l₁的距離，
∴點(diǎn)G的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，
∴所求軌跡的方程為x²=4y；
（2）由題意直線l₂的方程為y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立消去y得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∵直線PQ的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-

2

k

，-1），
∴

RP

•

RQ

=（1+k²）x₁x₂+（

2

k

+2k）（x₁+x₂）+

4

k2

+4=4（k²+

1

k2

）+8≥16，當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取到等號(hào)，
∴

RP

•

RQ

的最小值為16．此時(shí)直線l₂的方程為x+y-1=0或x-y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．