Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對任意n∈N^*，有a_n＋1＝kS_n＋1(k為常數(shù))．

(1)當(dāng)k＝2時(shí)，求a₂、a₃的值；

(2)試判斷數(shù)列{a_n}是否為等比數(shù)列？請說明理由．

Answer 1

　(1)當(dāng)k＝2時(shí)，a_n＋1＝2S_n＋1，

令n＝1得a₂＝2S₁＋1，又a₁＝S₁＝1，得a₂＝3；

令n＝2得a₃＝2S₂＋1＝2(a₁＋a₂)＋1＝9，∴a₃＝9.

∴a₂＝3，a₃＝9.

(2)由a_n＋1＝kS_n＋1，得a_n＝kS_n－1＋1，

兩式相減，得a_n＋1－a_n＝ka_n(n≥2)，

即a_n＋1＝(k＋1)a_n(n≥2)，

且＝＝k＋1，故a_n＋1＝(k＋1)a_n.

故當(dāng)k＝－1時(shí)，a_n＝

此時(shí)，{a_n}不是等比數(shù)列；

當(dāng)k≠－1時(shí)，＝k＋1≠0，此時(shí)，{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為k＋1的等比數(shù)列．

綜上，當(dāng)k＝－1時(shí)，{a_n}不是等比數(shù)列；

當(dāng)k≠－1時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列．