【題目】如圖,在平行四邊形中,
于點
,將
沿
折起,使
,連接
,得到如圖所示的幾何體.
(1)求證:平面平面
;
(2)若點在線段
上,直線
與平面
所成角的正切值為
,求三棱錐
的體積.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)取中點
,以
所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的數(shù)量積為零證明
,即可得出
平面
,從而可得結(jié)論;(2)過
作
,垂足為
,連接
,則
,可得
平面
,由此
為直線
與平面
所成的角,利用正切值為
求出
到平面
的距離,代入體積公式即可得結(jié)果.
(1)∵BE⊥AE,DE⊥AE,BE∩DE=E,
∴AE⊥平面BCDE,
以E為坐標(biāo)原點,以ED,EB,EA所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖:
則A(0,0,1),B(0,1,0),C(2,1,0),D(1,0,0),
設(shè)AC的中點為M,則M(1,,
),
∴=(0,
,
),
=(0,1,-1),
=(2,0,0),
∴=0,
=0,
∴DM⊥AB,DM⊥BC,
又AB∩BC=B,AB平面ABC,BC平面ABC,
∴DM⊥平面ABC,
又DM平面ACD,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)過P作PN⊥BE,垂足為N,連接DN,
則PN∥AE,∴PN⊥平面BCDE,
∴∠PDN為直線PD與平面BCD所成的角.
設(shè)PN=x,則BN=x,故EN=1-x,∴DN=,
∴tan∠PDN==
=
,解得x=
,即PN=
.
∵BD==
,CD=AB=
,BC=2,
∴BD2+CD2=BC2,∴BD⊥CD.
∴S△BCD==1,
∴三棱錐P-BCD的體積V=S△BCDPN=
=
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線恒過定點
.
(Ⅰ)若直線經(jīng)過點
且與直線
垂直,求直線
的方程;
(Ⅱ)若直線經(jīng)過點
且坐標(biāo)原點到直線
的距離等于3,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,
是圓
上的一個動點,
為圓心,線段
的垂直平分線與直線
的交點為
.
(1)求點的軌跡
的方程;
(2)設(shè)與
軸的正半軸交于點
,直線
與
交于
兩點(
不經(jīng)過
點),且
,證明:直線
經(jīng)過定點,并寫出該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)
今年十一黃金周,記者通過隨機(jī)詢問某景區(qū)110名游客對景區(qū)的服務(wù)是否滿意,得到如下的列聯(lián)表:
性別與對景區(qū)的服務(wù)是否滿意 單位:名
男 | 女 | 總計 | |
滿意 | 50 | 30 | 80 |
不滿意 | 10 | 20 | 30 |
總計 | 60 | 50 | 110 |
(1)從這50名女游客中按對景區(qū)的服務(wù)是否滿意采取分層抽樣,抽取一個容量為5的樣本,問樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名?
(2)從(1)中的5名女游客樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談,求選到滿意與不滿意的女游客各一名的概率;
(3)根據(jù)以上列聯(lián)表,問有多大把握認(rèn)為“游客性別與對景區(qū)的服務(wù)滿意”有關(guān)
注:
臨界值表:
P( | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)P是橢圓上一點,M,N分別是兩圓(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為 ( )
A. 9,12 B. 8,11 C. 10,12 D. 8,12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C經(jīng)過M(1,3),N(4,2),P(1,﹣7)三點,且直線l:x+ay﹣1=0(aR)是圓C的一條對稱軸,過點A(﹣6,a) 作圓C的一條切線,切點為B,則線段AB的長度為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點和點
,直線
,
的斜率乘積為常數(shù)
,設(shè)點
的軌跡為
,下列說法正確的是( )
A.存在非零常數(shù),使
上所有點到兩點
,
距離之和為定值
B.存在非零常數(shù),使
上所有點到兩點
,
距離之和為定值
C.不存在非零常數(shù),使
上所有點到兩點
,
距離之差的絕對值為定值
D.不存在非零常數(shù),使
上所有點到兩點
,
距離之差的絕對值為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個焦點為
,離心率為
.
為橢圓
的左頂點,
為橢圓
上異于
的兩個動點,直線
與直線
分別交于
兩點.
(I)求橢圓的方程;
(II)若與
的面積之比為
,求
的坐標(biāo);
(III)設(shè)直線與
軸交于點
,若
三點共線,求證:
.
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