Question

已知直線(xiàn)l₁：4x－3y＋6＝0和直線(xiàn)l₂：x＝－ (p>2)．若拋物線(xiàn)C：y²＝2px上的點(diǎn)到直線(xiàn)l₁和直線(xiàn)l₂的距離之和的最小值為2.
(1)求拋物線(xiàn)C的方程；
(2)若拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)M處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)l₂交于點(diǎn)N，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）存在定點(diǎn)Q(1，0)，使Q在以MN為直徑的圓上．

(1)由定義知l₂為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F，由拋物線(xiàn)定義知拋物線(xiàn)上點(diǎn)到直線(xiàn)l₂的距離等于其到焦點(diǎn)F的距離．
所以?huà)佄锞�(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)l₁和直線(xiàn)l₂的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F到直線(xiàn)l₁的距離．
所以2＝，則p＝2，所以?huà)佄锞�(xiàn)方程為y²＝4x.
(2)設(shè)M(x₀，y₀)，由題意知直線(xiàn)斜率存在，設(shè)為k，且k≠0，所以直線(xiàn)l方程為y－y₀＝k(x－x₀)，
代入y²＝4x消x得ky²－4y＋4y₀－k＝0.
由Δ＝16－4k(4y₀－k)＝0，得k＝.
所以直線(xiàn)l方程為y－y₀＝ (x－x₀)，
令x＝－1，又由＝4x₀，得N.
設(shè)Q(x₁，0)則＝(x₀－x₁，y₀)，＝.
由題意知·＝0，即(x₀－x₁)(－1－x₁)＋＝0，把＝4x₀代入，得(1－x₁)x₀＋＋x₁－2＝0，因?yàn)閷?duì)任意的x₀等式恒成立，所以
所以x₁＝1，即在x軸上存在定點(diǎn)Q(1，0)，使Q在以MN為直徑的圓上．