Question

11．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y≥3}\\{2x+y≤3}\end{array}\right.$，若y-x的最大值是a，則二項(xiàng)式（ax-$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-540，（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 首先利用約束條件得到可行域，結(jié)合y-x的幾何意義求出其最大值，然后對二項(xiàng)式的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：已知得到可行域如圖：設(shè)z=y-x變形為y=x+z，當(dāng)此直線經(jīng)過圖中B（0，3）時(shí)，
直線在y軸的截距最大，z最大，
所以z 的最大值為3，
所以a=3，二項(xiàng)式（3x-$\frac{1}{x}$）⁶的通項(xiàng)為${C}_{6}^{r}（3x）^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}=（-1）^{r}{{3}^{6-r}C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
所以r=3時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為$-{3}^{3}{C}_{6}^{3}$=-540；
故答案為：-540

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題與二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合正確求出a，然后由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)．