(2005•海淀區(qū)二模)如圖所示,在△ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,點D在斜邊AB上,∠BCD=α(0<α<
π2
).把△ABC沿CD折起到△B′CD的位置,使平面B′CD⊥平面ACD
(Ⅰ)求點B′到平面ACD的距離(用α表示);
(Ⅱ)當(dāng)AD⊥B′C時,求三棱錐B′-ACD的體積;
(Ⅲ)當(dāng)點B′在平面ACD內(nèi)的射影為線段CD的中點時,求異面直線AD與B′C所成角的大。
分析:(I)作B'E⊥CD于E,由面面垂直的性質(zhì)證出B'E⊥平面ACD,得B'E長就是點B'到平面ACD的距離,然后在Rt△B'EC中利用三角函數(shù)的定義,即可算出B'E=BCsinα=sinα;
(II)根據(jù)三垂線定理,證出AD⊥CD.等腰Rt△ABC中,根據(jù)D為AB的中點且α=45°,算出SACD和B'E長,利用三棱錐體積公式,即可算出B′-ACD的體積;
(III)作CF∥DA,并作EF⊥CF于F,連接B'F得∠B'CF為B'C與AD所成的角.利用等腰△B'CD算出∠B'DC=α=67.5°,根據(jù)二倍角的余弦公式算出CF=B'C(cos67.5°)2=
2-
2
4
,利用三垂線定理證出B'F⊥CF,在Rt△B'CF中,利用三角函數(shù)的定義算出cos∠B′CF的值,從而可得B'C與AD所成的角為arccos
2-
2
4
解答:解:(I)作B'E⊥CD于E
∵平面B'CD⊥平面ACD,平面B'CD∩平面ACD=CD,
∴B'E⊥平面ACD,可得B'E長就是點B'到平面ACD的距離
∵Rt△B'EC中,∠B'CE=α,BC=1,
∴B'E=BCsinα=sinα
(II)∵B'E⊥平面ACD,∴CE為B'C在平面ACD內(nèi)的射影,
又∵AD⊥B'C,∴AD⊥CE即AD⊥CD
∵AC=BC=1,∠ACB=90°,∴D為AB的中點,且α=45°
∴SACD=
1
2
1
2
AC×BC
=
1
4
,B'E=sin45°=
2
2

∴三棱錐B′-ACD的體積V=
1
3
×
1
4
×
2
2
=
2
24

(III)∵E為CD中點,且B'E⊥CD,
∴等腰△B'CD中,B'D=B'C=1,∠B'DC=α=67.5°
作CF∥DA,并作EF⊥CF于F
連接B'F,則∠B'CF為B'C與AD所成的角.…(11分)
在Rt△FCE中,∠FCE=∠BDC=∠B'DC=∠B'CD=α=67.5°
∴CF=B'C(cos67.5°)2=
1+cos135°
2
=
2-
2
4

∵B'E⊥平面ACD,EF⊥CF,
∴B'F⊥CF
∴Rt△B'CF中,cos∠B′CF=
CF
B′C
=
2-
2
4
>0
,可得∠B’CF=arccos
2-
2
4

即B'C與AD所成的角為arccos
2-
2
4
點評:本題將等腰直角三角形紙片折疊,求空間距離和空間角的大小,著重考查了三垂線定理、面面垂直的性質(zhì)、異面直線所成角的定義與求法和錐體的體積公式等知識,屬于中檔題.
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π
4
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π
3
)
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