Question

若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=-f（x），則下列結(jié)論：
①f（x）的圖象過點(diǎn)（1，0）；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③f（x）是周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期；
④f（x）在區(qū)間（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

（填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)f（0）=0和條件判斷①；再由奇函數(shù)的性質(zhì)和條件的f（1+x）=f（-x）得，函數(shù)的對稱軸方程判斷②；再由f（1+x）=-f（x）求出函數(shù)的周期判斷③；根據(jù)函數(shù)的對稱軸判斷④．

解答： 解：∵定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=-f（x），
∴f（1）=-f（0）=0，則f（x）的圖象過點(diǎn)（1，0），①正確；
由f（1+x）=-f（x）=f（-x）得，f（x）的圖象關(guān)于直線x=

1

2

對稱，②不正確；
令x取x+1代入f（1+x）=-f（x）得，f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
則f（x）是周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期，③正確；
∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=

1

2

對稱，∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上不是單調(diào)函數(shù)，
則④不正確；
故答案為；①③．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性的定義、性質(zhì)，以及利用賦值法對等式進(jìn)行靈活變形．