設無窮等比數(shù)列的公比為q,且
,
表示不超過實數(shù)
的最大整數(shù)(如
),記
,數(shù)列
的前
項和為
,數(shù)列
的前
項和為
.
(Ⅰ)若,求
;
(Ⅱ)若對于任意不超過的正整數(shù)n,都有
,證明:
.
(Ⅲ)證明:(
)的充分必要條件為
.
(Ⅰ)解:由等比數(shù)列的
,
,
得,
,
,且當
時,
.
所以,
,
,且當
時,
.
即
(Ⅱ)證明:因為 ,
所以 ,
.
因為 ,
所以 ,
.
由 ,得
.
因為 ,
所以 ,
所以 ,即
.
(Ⅲ)證明:(充分性)因為 ,
,
所以 ,
所以 對一切正整數(shù)n都成立.
因為 ,
,
所以 .
(必要性)因為對于任意的,
,
當時,由
,得
;
當時,由
,
,得
.
所以對一切正整數(shù)n都有.
由 ,
,得對一切正整數(shù)n都有
,
所以公比為正有理數(shù).
假設 ,令
,其中
,且
與
的最大公約數(shù)為1.
因為是一個有限整數(shù),
所以必然存在一個整數(shù),使得
能被
整除,而不能被
整除.
又因為,且
與
的最大公約數(shù)為1.
所以,這與
(
)矛盾.
所以.
因此,
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,正方體的棱長為
,動點P在對角線
上,過點P作垂直于
的平面
,記這樣得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y,設
x,則當
時,函數(shù)
的值域為( )
(A)(B)
(C)
(D)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量在
這
個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生.
(Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出的值為
的概率
;
(Ⅱ)甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行次后,統(tǒng)計記錄了輸出
的值為
的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù).
當時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出
的值為
的頻率(用分數(shù)表示),并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.
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