Question

設：f（x）=x²+2mx+2m（m∈R）
（1）解關于x的不等式f（x）≤x+4m；
（2）當x∈[-1，+∞）時，f（x）≥x+1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質

專題：綜合題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）f（x）≤x+4m，可化為（x+2m）（x-1）≤0，按照兩根-2m，1的大小關系分三種情況討論可得答案；
（2）f（x）≥x+1，即2m（x+1）≥-x²+x+1，分x=-1、x＞-1兩種情況討論，x=-1時易求；x＞-1時分離出參數m后化為函數最值解決，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：（1）f（x）≤x+4m，即x²+2mx+2m≤x+4m，
∴（x+2m）（x-1）≤0，
當-2m＞1，即m＜-

1

2

時，不等式的解集為{x|1≤x≤-2m}；
當-2m=1，即m=-

1

2

時，不等式的解集為{x|x=1}；
當-2m＜1，即m＞-

1

2

時，不等式的解集為{x|-2m≤x≤1}；
（2）f（x）≥x+1，即2m（x+1）≥-x²+x+1，
當x=-1時，不等式對任意實數m成立；
當x＞-1時，不等式可化為2m＞

-x2+x+1

x+1

又

-x2+x+1

x+1

=-（x+1）+

-1

x+1

+3≤-2

(x+1)• 1 x+1

+3=1，
當且僅當x=0時取等號，
∴2m＞1，即m＞

1

2

，
綜上所述，實數m的范圍是m＞

1

2

．

點評：本題考查二次不等式的解法、函數恒成立問題，考查分類討論思想、轉化思想，深刻理解“三個二次”間的關系是解決問題的關鍵．