Question

6．6名教師被隨機(jī)地平均分配到甲、乙、丙三個不同學(xué)校進(jìn)行調(diào)研，且學(xué)校甲至少有一名男教師的概率是$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求6名教師中男、女教師各幾人；
（Ⅱ）求學(xué)校乙恰好男、女教師各一人的概率；
（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量ζ表示在學(xué)校丙的男教師的人數(shù)，求ζ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對立事件的概率公式，列方程求出男、女教師的人數(shù)；
（Ⅱ）計算學(xué)校乙恰好男、女教師各1人的概率值；
（Ⅲ）由題意知ζ的所有可能值，計算對應(yīng)的概率，寫出ξ的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）記至少有一名男教師被分到學(xué)校甲為事件A，則A的對立事件為“沒有男教師分到學(xué)校甲”，
設(shè)有男教師x人，則1≤x≤6，那么P（A）=1-$\frac{{C}_{6-x}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得x=2，即男教師2人，女教師4人；
（Ⅱ）記學(xué)校乙恰好男、女教師各1人為事件E，
那么P（E）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
所以學(xué)校乙恰好男、女教師各一人的概率為$\frac{8}{15}$；
（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量ζ表示在學(xué)校丙的男教師的人數(shù)，
則ζ的所有可能取值為0，1，2；
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了古典概型的概率以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計算問題，是中檔題．