Question

如圖：A₁、A₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右頂點，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）是橢圓的兩個焦點，若

A1F1

=λ

F1A2

，

A1F2

=μ

F2A2

，則λ+μ=

2(a2+c2)

b2

．
如果A是橢圓（a＞b＞0）上的任意一點，直線AF₁、AF₂分別和橢圓的交于分B、C兩點，且

AF1

=λ1

F1B

，

AF2

=λ2

F2C

，那么λ₁+λ₂能否還為定值

2(a2+c2)

b2

？若能，請給出證明，若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．分別代入橢圓的方程，再利用向量的坐標運算即可得出．

解答： 解：λ₁+λ₂為定值

2(a2+c2)

b2

，下面給出證明：
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
∴b2

x

2 1

+a2

y

2 1

=a2b2，b2

x

2 2

+a2

y

2 2

=a2b2，b2

x

2 3

+a2

y

2 3

=a2b2．（*）
∵

AF1

=λ1

F1B

，

AF2

=λ2

F2C

，
∴-c-x₁=λ₁（x₂+c），-y₁=λ₁y₂，
c-x₁=λ₂（x₃-c），-y₁=λ₂y₃．
∴x2=

-c-x1

λ1

-c，x3=

c-x1

λ2

+c．
代入（*）可得：
[x1+c(1+λ1)]2=a2

λ

2 1

+

a2

b2

y

2 1

=a2

λ

2 1

+a2-

x

2 1

，
[x1-c(1+λ2)]2=a2

λ

2 2

+a2-

x

2 1

，
∴兩式相減可得：x1=

a2( λ 2 1 - λ 2 2 )

2c(2+λ1+λ2)

-

c(λ1+λ2)

2

，
代入上式之一可得：
λ₁+λ₂=

2(a2+c2)

b2

．

點評：本題考查了點與橢圓的位置關系、向量的坐標運算，考查了推理能力，本題需要較強的計算能力，屬于難題．