Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，已知a₁＝1，b₁＝3，a₂＋b₂＝8，T₃－S₃＝15.

(1)求{a_n}，{b_n}的通項公式；

(2)若數(shù)列{c_n}滿足a₁c_n＋a₂c_n－1＋…＋a_n－1c₂＋a_nc₁＝2^n＋1－n－2對任意n∈N^*都成立，求證：數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

(1)解　設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q(q>0)．

(2)證明　由c_n＋2c_n－1＋…＋(n－1)c₂＋nc₁＝2^n＋1－n－2，

知c_n－1＋2c_n－2＋…＋(n－2)c₂＋(n－1)c₁＝2ⁿ－(n－1)－2(n≥2)．

兩式相減：c_n＋c_n－1＋…＋c₂＋c₁＝2ⁿ－1(n≥2)，

∴c_n－1＋c_n－2＋…＋c₂＋c₁＝2^n－1－1(n≥3)，

∴c_n＝2^n－1(n≥3)．

當(dāng)n＝1,2時，c₁＝1，c₂＝2，適合上式．

∴c_n＝2^n－1(n∈N^*)，

即{c_n}是等比數(shù)列．