Question

【題目】設(shè)函數(shù)（，）.

（1）當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，證明：存在實(shí)數(shù)，使得

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，見解析 （3）證明見解析

【解析】

（1）利用即可求解。

（2）根據(jù)可把解析式化為，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，故討論參數(shù)的取值范圍，即可求出單調(diào)區(qū)間。

（3）根據(jù)題干只需證明存在，故不妨先證時(shí)，，限制，利用不等式中的放縮法即可證出。

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

∴

∵在上單調(diào)遞增

∴在上恒成立

∴恒成立，則

∴.

（2）∵

∴

∴

∴

①當(dāng)時(shí)，令，得

的單調(diào)遞增區(qū)間為

的單調(diào)遞減區(qū)間為

②當(dāng)時(shí)，令，得

的單調(diào)遞增區(qū)間為

的單調(diào)遞減區(qū)間為

③當(dāng)時(shí)，令，

得，

當(dāng)，即時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增

當(dāng)，即時(shí)，

的單調(diào)遞增區(qū)間為和；的單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)，即時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（3）易證：時(shí)，

限制

∴

∴

此時(shí)

令

取，則

故得證.