Question

已知函數(shù)f(x)=logm

x-3

x+3

，x∈[α，β]，（其中a＞0）．
（1）證明：a＞3；
（2）問是否存在實數(shù)m，使得自變量x在定義域[α，β]上取值時，該函數(shù)的值域恰好為[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設條件，求出函數(shù)的定義域，再由題設條件x∈[α，β]，（其中α＞0）即可得出α＞3．
（2）由題意，若存在這樣的m，使得自變量x在定義域[α，β]上取值時，該函數(shù)的值域恰好為[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，可先確定函數(shù)的單調性，確定出函數(shù)的最值，由最值建立起方程求參數(shù)m的取值范圍即可．

解答：解：（1）

x-3

x+3

＞0?x＜-3，或x＞3，
∵f（x）定義域為[α，β]且α＞0，
∴α＞3．                                                  …（2分）
（2）∵3＜α＜β，m＞0，
∴m（α-1）＜m（β-1），而log_a m（α-1）＜log_am（β-1），
∴0＜m＜1，…（4分）
設β≥x₁＞x₂≥α，有

x1-3

x1+3

-

x2-3

x2+3

=

6(x1-x2)

(x1+3)(x2+3)

＞0，
∴當0＜m＜1時，f（x）在[α，β]上單調遞減．                  …（7分）
又f（x）在[α，β]上的值域為[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，
∴

f(β)=logm β-3 β+3 =logm(mβ-m) f(α)=logm α-3 α+3 =logm(mα-m)

即

mβ2+(2m-1)β-3(m-1)=0 mα2+(2m-1)α-3(m-1)=0

又β＞α＞3，…（10分）
即α，β是方程mx²+（2m-1）x-3（m-1）=0大于3的兩個不相等的實數(shù)根，…（11分）
∴

0＜m＜1 △=16m2-16m+1＞0 - 2m-1 2m ＞3 mf(3)＞0

   解之得0＜m＜

2- 3

4

，…（15分）
因此，當0＜m＜

2- 3

4

時，滿足題意條件的m存在．        …（16分）

點評：本題的考點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合運用，考察了對數(shù)型函數(shù)的單調性的判斷，對數(shù)定義域的求法，解題的關鍵理解題意，判斷出函數(shù)的單調性是本題的重點，本題考查了轉化的思想，由題意，將題設條件正確轉化對順利解題很重要．