Question

已知曲線的直角坐標方程為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.是曲線上一點，，將點繞點逆時針旋轉角后得到點,,點的軌跡是曲線.

（Ⅰ）求曲線的極坐標方程.

（Ⅱ）求的取值范圍.

 

Answer 1

（Ⅰ）＝＋，（Ⅱ）[2，4]

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先將曲線的直角坐標方程化為極坐標方程，設M(ρ，θ)，根據(jù)知，Q（，θ)，由是曲線上一點，，將點繞點逆時針旋轉角后得到點知，P（，），代入曲線的極坐標方程即得到曲線的極坐標方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線的極坐標方程為）＝＋，所以=＝ (1＋3sin2)，先求的取值范圍，利用不等式的性質，即可求出|OM|的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）曲線C1的極坐標方程為＋ρ2sin2θ＝1，即＋sin2θ＝．

在極坐標系中，設M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，則

題設可知，ρ1＝，α＝. ①

因為點P在曲線C1上，所以＋sin2α＝ ②

由①②得曲線C2的極坐標方程為＝＋. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

＝ (1＋3sin2)．

因為的取值范圍是[，]，所以|OM|的取值范圍是[2，4]. 10分

考點：直角坐標方程與極坐標方程互化，相關點法求曲線方程，函數(shù)的值域