【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形ABCD是矩形,平面
平面ABCD,
,E是SB的中點,M是CD上任意一點.
(1)求證:;
(2)若,
,
平面SAD,求直線BM與平面SAB所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2).
【解析】
(1)取的中點
,連接
,證明
平面
,來證明
;(2)先根據(jù)
平面
得到
為線段
的中點,再證得
平面
,所以
為直線
與平面
所成的角,即可求解,也可建立空間直角坐標系,利用向量法進行求解.
(1)取的中點
,連接
,
又是
的中點,所以
,
因為四邊形是矩形,所以
,則
,所以
四點共面,
平面
,
因為,平面
平面
,平面
平面
,
所以平面
,
又平面
,所以
,所以
,
因為是
的中點,所以
,
又,所以
平面
,所以
;
(2)解法一:
因為平面
平面
,平面
平面
,
所以.
又,所以四邊形
為平行四邊形,
所以,所以
為
的中點,
由(1)知,平面
,
又平面
,所以
,
又,所以
平面
.
又,所以
平面
,
所以為直線
與平面
所成的角,
在中,易得
,
所以,即直線
與平面
所成角的正弦值為
.
解法二:
因為平面
平面
,平面
平面
,
所以,
又,所以四邊形
為平行四邊形,
所以,所以
為
的中點,
因為,所以
,
過點作平面
的垂線,作為
軸,以
所在的直線為
軸,
所在的直線為
軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,
,
設平面的法向量為
,
則,即
,得
,
令,則
,所以
為平面
的一個法向量,
設直線與平面
所成的角為
,
則,
即直線與平面
所成角的正弦值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F(0,1)為平面上一點,H為直線l:y=﹣1上任意一點,過點H作直線l的垂線m,設線段FH的中垂線與直線m交于點P,記點P的軌跡為Γ.
(1)求軌跡Γ的方程;
(2)過點F作互相垂直的直線AB與CD,其中直線AB與軌跡Γ交于點AB,直線CD與軌跡Γ交于點CD,設點M,N分別是AB和CD的中點.
①問直線MN是否恒過定點,如果經(jīng)過定點,求出該定點,否則說明理由;
②求△FMN的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱中,底面
是等腰梯形,
,頂點
在底面
內的射影恰為點
.
(1)求證:平面
;
(2)若直線與底面
所成的角為
,求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近年來電子商務蓬勃發(fā)展,同時也極大地促進了快遞行業(yè)的發(fā)展,為了更好地服務客戶,某快遞公司使用客戶評價系統(tǒng)對快遞服務人員的服務進行評價,每月根據(jù)客戶評價評選出“快遞之星”.已知“快遞小哥”小張在每個月被評選為“快遞之星”的概率都是,則小張在第一季度的3個月中有2個月都被評為“快遞之星”的概率為_______;設小張在上半年的6個月中被評為“快遞之星”的次數(shù)為隨機變量X,則隨機變量X的方差
______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知圓
:
,點
,
,點
在圓
上,
.
(1)求圓的方程;
(2)直線與圓
交于
,
兩點(
點在
軸上方),點
是拋物線
上的動點,點
為
的外心,求線段
長度的最大值,并求出當線段
長度最大時,
外接圓的標準方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
(Ⅰ)當時,判斷函數(shù)
的零點個數(shù);
(Ⅱ)若對任意,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為篩查在人群中傳染的某種病毒,現(xiàn)有兩種檢測方法:
(1)抗體檢測法:每個個體獨立檢測,每一次檢測成本為80元,每個個體收取檢測費為100元.
(2)核酸檢測法:先合并個體,其操作方法是:當個體不超過10個時,把所有個體合并在一起進行檢測.
當個體超過10個時,每10個個體為一組進行檢測.若該組檢測結果為陰性(正常),則只需檢測一次;若該組檢測結果為陽性(不正常),則需再對每個個體按核酸檢測法重新獨立檢測,共需檢測k+1次(k為該組個體數(shù),1≤k≤10,k∈N*).每一次檢測成本為160元.假設在接受檢測的個體中,每個個體的檢測結果是陽性還是陰性相互獨立,且每個個體是陽性結果的概率均為p(0<p<1).
(Ⅰ)現(xiàn)有100個個體采取抗體檢測法,求其中恰有一個檢測出為陽性的概率;
(Ⅱ)因大多數(shù)人群篩查出現(xiàn)陽性的概率很低,且政府就核酸檢測法給子檢測機構一定的補貼,故檢測機構推出組團選擇核酸檢測優(yōu)惠政策如下:無論是檢測一次還是k+1次,每組所有個體共收費700元(少于10個個體的組收費金額不變).已知某企業(yè)現(xiàn)有員工107人,準備進行全員檢測,擬準備9000元檢測費,由于時間和設備條件的限制,采用核酸檢測法合并個體的組數(shù)不得高于參加采用抗體檢測法人數(shù),請設計一個合理的的檢測安排方案;
(Ⅲ)設,現(xiàn)有n(n∈N*且2≤n≤10)個個體,若出于成本考慮,僅采用一種檢測方法,試問檢測機構應采用哪種檢測方法?(ln3≈1.099,ln4≈1.386,ln5≈1.609,ln6≈1.792)
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