Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，平面平面ABCD，，E是SB的中點，M是CD上任意一點．

（1）求證：；

（2）若，，平面SAD，求直線BM與平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）．

【解析】

（1）取的中點，連接，證明平面，來證明；（2）先根據(jù)平面得到為線段的中點，再證得平面，所以為直線與平面所成的角，即可求解，也可建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解．

（1）取的中點，連接，

又是的中點，所以，

因為四邊形是矩形，所以，則，所以四點共面，平面，

因為，平面平面，平面平面，

所以平面，

又平面，所以，所以，

因為是的中點，所以，

又，所以平面，所以；

（2）解法一：

因為平面平面，平面平面，

所以．

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以為的中點，

由（1）知，平面，

又平面，所以，

又，所以平面．

又，所以平面，

所以為直線與平面所成的角，

在中，易得，

所以，即直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：

因為平面平面，平面平面，

所以，

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以為的中點，

因為，所以，

過點作平面的垂線，作為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

，

設平面的法向量為，

則，即，得，

令，則，所以為平面的一個法向量，

設直線與平面所成的角為，

則，

即直線與平面所成角的正弦值為．