Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果?x∈D，?y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，則稱函數(shù)f（x）為“Ω函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)：
①y=sinx；
②y=2^x；
③y=

1

x-1

；
④f（x）=lnx，
則其中“Ω函數(shù)”共有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的定義，將條件轉(zhuǎn)化為f（x）+f（y）=0，判斷函數(shù)是否滿足條件即可．

解答： 解：若?x∈D，?y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，
即等價為?x∈D，?y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．
A．函數(shù)的定義域為R，∵y=sinx是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即f（x）+f（-x）=0，∴當(dāng)y=-x時，等式（x）+f（y）=0成立，∴A為“Ω函數(shù)”．
B．∵f（x）=2^x＞0，∴2^x+2^y＞0，則等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函數(shù)”．
C．函數(shù)的定義域為{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得

1

x-1

+

1

y-1

=0，即

x+y-2

(x-1)(y-1)

=0，
∴x+y-2=0，即y=2-x，當(dāng)x≠1時，y≠1，∴當(dāng)y=2-x時，等式（x）+f（y）=0成立，∴C為“Ω函數(shù)”．
D．函數(shù)的定義域為（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即當(dāng)y=

1

x

時，等式（x）+f（y）=0成立，∴D為“Ω函數(shù)”．
綜上滿足條件的函數(shù)是A，C，D，共3個，
故選：C

點評：本題主要考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為f（x）+f（y）=0是解決本題的關(guān)鍵．