Question

已知四棱錐的底面是平行四邊形，,，面，

且. 若為中點，為線段上的點，且.

（Ⅰ）求證：平面；

    （Ⅱ）求PC與平面PAD所成角的正弦值.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）證明1：連接BD交AC于點O，取中點，連接、、.

因為、分別是、的中點， 所以，

又     ，所以     ……2分

因為、分別是、的中點，

所以，同理可得     ……4分

又 所以，平面平面.

又因為平面，故平面.    ……6分

證明2：作AH垂直BC交BC于H

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ，令A(yù)D=PA=2,則AB=1

所以

為中點， 所以 ……2分

設(shè)面AFC的一個法向量，又

由,

所以 

令   ……4分

 所以

所以   故平面.                             ……6分

（Ⅱ）解1：因為，，所以.

過C作AD的垂線，垂足為H，則，，所以平面PAD.

故為PC與平面PAD所成的角.        ……………………9分

設(shè)，則，，，

所以，即為所求.    ……………………12分

解2：作AH垂直BC交BC于H，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ，令A(yù)D=PA=2,則AB=1

所以       ……8分

因為,所以面PCD的一個法向量為    ……10分

令PC與平面PAD所成的角為，則

故PC與平面PAD所成角的正弦值為. ……