【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,恒有
,求實數(shù)
的取值范圍.
附:,
.
【答案】(1)見解析.(2) .
【解析】
(1)首先求得導(dǎo)函數(shù),然后分類討論和
兩種情況確定函數(shù)的單調(diào)性即可;
(2)原問題等價于函數(shù)的最大值小于零,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分類討論函數(shù)的最大值,然后分別求解關(guān)于m的不等式即可確定實數(shù)的取值范圍.
(1)
.
①若,
在區(qū)間
上恒成立,
所以函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
②若,由
,解得
或
;由
,解得
.
所以函數(shù)在區(qū)間
,
上單調(diào)遞減;在區(qū)間
上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,函數(shù)
在區(qū)間
,
上單調(diào)遞減;在區(qū)間
上單調(diào)遞增.
(2)由(1)知,.因為
,所以
.
①若,則
,由
,解得
;由
,解得
.
所以函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減;在區(qū)間
上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時,
取得最大值為
,
所以當(dāng)時,
恒成立.
②若,由
,解得
;由
,解得
或
,
所以函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增;在區(qū)間
,
上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時,
取得極小值,極小值為
,當(dāng)
時,
取得極大值,極大值為
.
要使當(dāng)時,
,則需
,解得
.
因為
,所以
.
又,所以
時,
恒成立.
③若,由(1)知,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,又
,
所以當(dāng)時,
,不滿足題意.
④若,由(1)知,函數(shù)
在區(qū)間
,
上單調(diào)遞減;在區(qū)間
上單調(diào)遞增.故當(dāng)
時,函數(shù)
取得極小值,極小值為
,不滿足題意.
綜上可知,實數(shù)的取值范圍為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是梯形,
,
,
,
,側(cè)面
底面
.
(1)求證:平面平面
;
(2)若與底面
所成角為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點,
的坐標(biāo)分別為
,
,直線
,
相交于點
,且它們的斜率之積為-2,設(shè)點
的軌跡是曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)已知直線與曲線
相交于不同兩點
、
(均不在坐標(biāo)軸上的點),設(shè)曲線
與
軸的正半軸交于點
,若
,垂足為
且
,求證:直線
恒過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩定點,
,點P是平面內(nèi)的動點,且
,記動點P的軌跡是W.
(1)求動點P的軌跡W的方程;
(2)圓與x軸交于C,D兩點,過圓上一動點K(異于C,D點)作兩條直線KC,KD分別交軌跡W于G,H,M,N四點.設(shè)四邊形GMHN面積為S,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點,橢圓
的焦距為
,直線
截圓
與橢圓
所得的弦長之比為
,圓
、橢圓
與
軸正半軸的交點分別為
,
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(
且
)為橢圓
上一點,點
關(guān)于
軸的對稱點為
,直線
,
分別交
軸于點
,
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程為
,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).
(Ⅰ)若曲線與
無公共點,求正實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)若曲線的參數(shù)方程中,
,且曲線
與
交于
,
兩點,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在平面區(qū)域為
,河岸線所在直線方程為
.假定將軍從點
處出發(fā),只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,則將軍可以選擇最短路程為_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點在
軸負(fù)半軸上,過點
作直線
與拋物線相交于
兩點,且滿足
.
(1)求直線和拋物線的方程;
(2)當(dāng)拋物線上一動點從點
運動到點
時,求
面積的最大值.
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