已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過點(diǎn)．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，求證：．

（1）；（2）詳見試題解析．

解析試題分析：（1）由已知列方程組可求得的值，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法可得線段的中點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，有橢圓的定義最終可得．
試題解析：(1)由已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　    ２分
解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　            ４分
橢圓的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　           ５分
（２）設(shè)，則，．   6分
由,
得,即．    ７分
是橢圓上一點(diǎn)，所以
，　　　　　　　　　　　      ８分
即
得，故．    ９分
又線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，　　　　　　　      10分
，11分
線段的中點(diǎn)在橢圓上．　        12分
橢圓的兩焦點(diǎn)恰為， 　　       13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　          14分
考點(diǎn)：1、橢圓的定義、方程；2、應(yīng)用平面向量解決解析幾何問題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；
（II）如果，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線相交于，兩點(diǎn)

（Ⅰ）若線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的方程；
（Ⅱ）若線段，求直線的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)是拋物線上相異兩點(diǎn)，到y(tǒng)軸的距離的積為且．

（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）過Q的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為R，與軸交點(diǎn)為T，且Q為線段RT的中點(diǎn)，試求弦PR長(zhǎng)度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知，橢圓C過點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓C的方程；
(2) 是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A（－2，0）、B（2，0），異于A、B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)P滿足，其中k1、k2分別表示直線AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與（I）中軌跡E交予點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），點(diǎn)C（1，0），求證：|CM|·|CN| 為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓 上任意一點(diǎn)，且的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知一條曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都等于１.
（１）求曲線Ｃ的方程；
（２）若過點(diǎn)Ｍ的直線與曲線Ｃ有兩個(gè)交點(diǎn)，且，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．① 求證：；② 若弦過橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案