已知橢圓:
的長軸長為4,且過點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)、
、
是橢圓上的三點,若
,點
為線段
的中點,
、
兩點的坐標(biāo)分別為
、
,求證:
.
(1);(2)詳見試題解析.
解析試題分析:(1)由已知列方程組可求得的值,進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)利用平面向量的坐標(biāo)運算和待定系數(shù)法可得線段
的中點
的軌跡是以
,
為焦點的橢圓,有橢圓的定義最終可得
.
試題解析:(1)由已知 2分
解得. 4分
橢圓的方程為
. 5分
(2)設(shè),則
,
. 6分
由,
得,即
. 7分
是橢圓
上一點,所以
, 8分
即
得,故
. 9分
又線段的中點
的坐標(biāo)為
, 10分
,11分
線段
的中點
在橢圓
上. 12分
橢圓
的兩焦點恰為
,
13分
14分
考點:1、橢圓的定義、方程;2、應(yīng)用平面向量解決解析幾何問題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與拋物線
相交于不同的兩點A,B.
(I)如果直線l過拋物線的焦點,求的值;
(II)如果,證明直線l必過一定點,并求出該定點坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線焦點為
,直線
經(jīng)過點
且與拋物線
相交于
,
兩點
(Ⅰ)若線段的中點在直線
上,求直線
的方程;
(Ⅱ)若線段,求直線
的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是拋物線
上相異兩點,
到y(tǒng)軸的距離的積為
且
.
(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過Q的直線與拋物線的另一交點為R,與軸交點為T,且Q為線段RT的中點,試求弦PR長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,橢圓C過點,兩個焦點為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2) 是橢圓C上的兩個動點,如果直線
的斜率與
的斜率互為相反數(shù),證明直線
的斜率為定值,并求出這個定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知定點A(-2,0)、B(2,0),異于A、B兩點的動點P滿足,其中k1、k2分別表示直線AP、BP的斜率.
(Ⅰ)求動點P的軌跡E的方程;
(Ⅱ)若N是直線x=2上異于點B的任意一點,直線AN與(I)中軌跡E交予點Q,設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M(異于點B),點C(1,0),求證:|CM|·|CN| 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點分別為
、
,P為橢圓
上任意一點,且
的最小值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)動圓與橢圓
相交于A、B、C、D四點,當(dāng)
為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知一條曲線在
軸右邊,
上每一點到點
的距離減去它到
軸距離的差都等于1.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點M的直線
與曲線C有兩個交點
,且
,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知分別是橢圓
的左、右頂點,點
在橢圓
上,且直線
與直線
的斜率之積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,已知是橢圓
上不同于頂點的兩點,直線
與
交于點
,直線
與
交于點
.① 求證:
;② 若弦
過橢圓的右焦點
,求直線
的方程.
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