Question

若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1+x）=-f（x），則下列結(jié)論：
①f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0）；
②f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

1

2

對(duì)稱(chēng)；
③f（x）是周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期；
④f（x）在區(qū)間（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由奇函數(shù)f（0）=0可判斷，②由奇函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性的結(jié)論可判斷；③由f（1+x）=-f（x）和周期性的定義可求出函數(shù)的周期；④根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸可作出判斷

解答： 解：∵定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1+x）=-f（x），
∴f（1）=-f（0）=0，∴f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），故①正確；
由f（1+x）=-f（x）=f（-x）得，f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

1

2

對(duì)稱(chēng)，故②正確；
用x+1替換f（1+x）=-f（x）中的x可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期，故③正確；
∵f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

1

2

對(duì)稱(chēng)，
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上不是單調(diào)函數(shù)，故④不正確；
故答案為；①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．