Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比是q,前n項(xiàng)和是S_n,是否存在常數(shù)c,使得數(shù)列{S_n+c}也成等比數(shù)列？若存在,求出c的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

思路解析:本題涉及前n項(xiàng)和是S_n,容易想到將其表示出來(lái),但形式很復(fù)雜,不利于計(jì)算,要求使數(shù)列{S_n+c}也成等比數(shù)列的c的值,如果直接根據(jù)等比數(shù)列的定義來(lái)判斷,顯然也會(huì)很麻煩,此時(shí)可以先尋找使數(shù)列{S_n+c}也成等比數(shù)列的必要條件,即先考慮使前三項(xiàng)成等比數(shù)列的相應(yīng)的c值,然后再檢驗(yàn)當(dāng)c取這些值時(shí)是否能保證題意滿足.

解:假設(shè)存在常數(shù)c,使得數(shù)列{S_n+c}也成等比數(shù)列,

則有(S₁+c)(S₃+c)=(S₂+c)².

當(dāng)q=1時(shí),由(S₁+c)(S₃+c)=(S₂+c)²,得(a₁+c)(3a₁+c)=(2a₁+c)²,

即?a₁²=0,a₁=0這與a₁≠0矛盾,故當(dāng)q=1時(shí),不存在滿足題意的常數(shù)c；

當(dāng)q≠1時(shí),由(S₁+c)(S₃+c)=(S₂+c)²,得

(a₁+c)［a₁(1+q+q²)+c］=［a₁(1+q)+c］²,

由此解得c=(q≠1),且當(dāng)c=(q≠1)時(shí),S_n+c=≠0,=q(q是不為零的常數(shù)),數(shù)列{S_n+c}也成等比數(shù)列.