Question

已知數(shù)列{an}中，a2=1，前n項和為Sn，且．

（1）求a1，a3；

（2）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；

（3）設(shè)，試問是否存在正整數(shù)p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)令n=1，則a1=S1==0． a3=2； 

（2）由，即，①得 ． ②

②－①，得  ．③

于是，．④

③+④，得，即．

又a1=0，a2=1，a2－a1=1，

所以，數(shù)列{an}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列．所以，an=n－1．

(3)假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p，q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列，

則lgb1，lgbp，lgbq成等差數(shù)列， 于是，．

所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)為方程(☆)的一組解．

當(dāng)p≥3，且p∈N*時，<0，

故數(shù)列{}(p≥3)為遞減數(shù)列 于是≤<0，所以此時方程(☆)無正整數(shù)解．

綜上，存在唯一正整數(shù)數(shù)對(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列．