Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E在棱CD上．
（1）求證：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中點(diǎn)，求EB₁與平面AD₁E所成的角；
（3）設(shè)M在BB₁上，且

BM

MB1

=

2

3

，是否存在點(diǎn)E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出點(diǎn)E的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）建立坐標(biāo)系，設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出要證的兩條線段對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，求兩個(gè)向量的數(shù)量積，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到對(duì)應(yīng)的兩條直線垂直．
（2）設(shè)出平面AD₁E的一個(gè)法向量，利用這個(gè)法向量與平面上的兩個(gè)不共線的向量的數(shù)量積為0，求出一個(gè)法向量，直線與平面所成的角，通過(guò)兩條直線所成的角得到，注意得到的是線面角的正弦值．
（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，得到平面的一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)平面垂直，得到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)平面的法向量的數(shù)量積是0，得到關(guān)于t的方程，解方程即可，舍去不合題意的結(jié)果．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁依次為x軸、y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
并設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，t，0）
（1）

AD1

=(-1，0，1)，

EB1

=(1，1-t，1)
∵

AD1

•

EB1

=0，
∴EB₁⊥AD₁
（2）當(dāng)E是CD中點(diǎn)時(shí)，

AD1

=(-1，0，1)，

AE

=(-1，

1

2

，0)，
設(shè)平面AD₁E的一個(gè)法向量是

n

=（x，y，z），
則由

AD1

•

n

=0，

AE

•

n

=0
得一組解是

n

=(1，2，1)，
又

EB1

=(1，1-t，1)，由cosθ=

EB1 • n

| EB1 || n |

=

6

3

，
從而直線EB₁與平面AD₁E所成的角的正弦值是

6

3

（3）設(shè)存在符合題意的E點(diǎn)為E（0，t，0）可得平面AD₁E的一個(gè)法向量是

a

=(t，1，t)，
平面AME的一個(gè)法向量是

b

=(t，1，-

5

2

)
∵平面AD₁E⊥平面AME，
∴

a

•

b

=t2+1-

5

2

t=0，
解得t=

1

2

或t=2（舍），
故當(dāng)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)時(shí)，平面AD₁E⊥平面AME

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量的知識(shí)解決立體幾何的問(wèn)題，這種題目是每一年高考卷中必出的一種題目，本題只要注意在第二問(wèn)中線面角的正弦值等于兩個(gè)向量的夾角的余弦值就不會(huì)出錯(cuò)．