Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為BB₁和A₁D₁的中點．證明：向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．

Answer 1

分析：欲證向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量，即證明B₁C和EF都與平面A₁BD平行．連結(jié)A₁D、BD，取A₁D中點G，連結(jié)FG、BG，由三角形中位線定理和正方形的性質(zhì)證出四邊形BEFG為平行四邊形，從而EF∥BG，利用線面平行判定定理證出EF∥平面A₁BD，同理證出B₁C∥平面A₁BD，由此即可得到向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．

解答：解：連結(jié)A₁D、BD，取A₁D中點G，連結(jié)FG、BG，
則有FG

∥

.

1

2

DD₁，BE

∥

.

1

2

DD₁，
∴FG

∥

.

BE，可得四邊形BEFG為平行四邊形．
∴EF∥BG．
∵EF?平面A₁BD，BG?平面A₁BD，∴EF∥平面A₁BD．
同理可得B₁C∥平面A₁BD，而向量

A1B

是平面A₁BD內(nèi)的向量
∴向量

A1B

、

B1C

、

EF

都與平面A₁BD平行．
由此可得：將向量

A1B

、

B1C

、

EF

作適當?shù)钠揭坪螅�可以共面于平面A₁BD
即

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．

點評：本題給出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱的中點E、F、G，求證向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．著重考查了正方體的性質(zhì)、線面平行判定定理和向量共面的證明等知識，屬于中檔題．