Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-x²-4x+1，直線l：x+y+2k-1=0，當x∈[-3，3]時，直線l恒在函數f（x）圖象的下方，則實數k的取值范圍是 （　�。�

• A、k＞-

  3

  4

• B、k＜-

  3

  4

• C、k＜

  9

  2

• D、k＞

  9

  2

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：命題等價于x在（-3，3）內，（

1

3

x³-x²-4x+1）-（-x-2k+1）＞0恒成立，即k＞-

1

6

x³+

1

2

x²+

3

2

x，由此利用導數性質能求出結果．

解答： 解：命題等價于x在（-3，3）內，
（

1

3

x³-x²-4x+1）-（-x-2k+1）＞0恒成立，
即k＞-

1

6

x³+

1

2

x²+

3

2

x，
設y=-

1

6

x³+

1

2

x²+

3

2

x，
y'=-

1

2

x²+x+

3

2

=

1

2

（3-x）（1+x）
由y′＞0，得-1＜x＜3；由y′＜0，得-3＜x＜-1，
∴在[-3，-1）內y遞減，（-1，3]內y遞增，
所以x=-1，y取最小值，
又y|_x=-3=

9

2

，y|_x=3=

9

2

，
∴y_max=

9

2

．∴k＞

9

2

．
故選：D．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．