Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=3a_n-1，n∈N^*
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知2S_n=3a_n-1，得出2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2），兩式相減，并移向整理得出a_n=3a_n-1，可以判定數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求出a₁后，可求出通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)數(shù)列{na_n}的特點(diǎn)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)求和．
解答：解：（I）∵2S_n=3a_n-1①
∴2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2）②
①-②得2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1=2a_n，
即a_n=3a_n-1，
 又n=1時(shí)，2S₁=3a₁-1=2a₁∴a₁=1
∴{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，以q=3為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1
（II）T_n=1•3+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
3T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
兩式相減得
-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=-n•3ⁿ，
∴T_n=
∴數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相消法求和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．