Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若不等式S_n＞ka_n－2對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

 (1)設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，

∵ a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，∴ a₂＋a₁＝9，a₃＋a₂＝18，

∴ q＝＝＝2，

∴ 2a₁＋a₁＝9，∴ a₁＝3.

∴ a_n＝3·2^n－1，n∈N^*.

(2)由(1)，知S_n＝＝3(2ⁿ－1)，

∴ 不等式3(2ⁿ－1)＞k·3·2^n－1－2，

即k＜2－對(duì)一切n∈N^*恒成立．

令f(n)＝2－，則f(n)隨n的增大而增大，

∴ f(n)_min＝f(1)＝2－＝，∴ k＜.

∴ 實(shí)數(shù)k的取值范圍為.