Question

已知函數f（x）=2x²+（a-1）x+1
（1）若a=-1，用定義法證明：函數f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上為減函數；
（2）若函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數，求f（-1）的范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時，利用定義法證明：函數f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上為減函數；
（2）利用函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數，確定函數的對稱軸和1的關系，然后求出f（-1）的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-1時，f（x）=2x²+（a-1）x+1=2x²-2x+1
任意設x₁＜x₂＜-1，
則f(x1)-f(x2)=2

x

2 1

-2x1+1-(2

x

2 2

-2x2+1)=2（x₁-x₂）（x₁+x₂-1），
∵x₁＜x₂＜-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上為減函數．
（2）∵二次函數f（x）=2x²+（a-1）x+1的對稱軸為x=-

a-1

2×2

=-

a-1

4

，
函數f（x）在[-

a-1

4

，+∞）上單調遞增，
∴函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數，
則對稱軸-

a-1

4

≤1，解得a≥-3，
∴-a≤3．
而f（-1）=2-（a-1）+1=4-a=4+（-a）≤4+3=7，
即f（-1）的取值范圍是f（-1）≤7，即（-∞，7]．

點評：本題主要考查利用定義法證明函數的單調性，以及二次函數的圖象和性質，利用二次函數單調性由對稱軸決定，從而得到對稱軸與已知區(qū)間的關系是解決本題的關鍵．