Question

【題目】已知函數，直線．

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）求證：對于任意，直線都不是曲線的切線；

（Ⅲ）試確定曲線與直線的交點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值，無極大值；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）當時，曲線與直線沒有交點，而當時，曲線與直線有且僅有一個交點．

【解析】試題（Ⅰ）先求出函數定義域再求導，得令，解得的值，畫出 當變化時，與的變化情況表所示，可得函數的單調區(qū)間，從而得到函數有極小值，無極大值

（Ⅱ）對于是否存在問題，先假設存在某個，使得直線與曲線相切，先設出切點，再求，

求得切線滿足斜率，又由于過點，可得方程顯然無解，所以假設不成立． 所以對于任意，直線都不是曲線的切線.

（Ⅲ）寫出“曲線與直線的交點個數”等價于“方程的根的個數”.

由分離系數法得，令，得，其中，且.考察函數，其中，求導得到函數的單調性，從而得到方程根的情況，命題得證

試題解析：函數定義域為，

求導，得，

令，解得．

當變化時，與的變化情況如下表所示：

所以函數的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為，

所以函數有極小值，無極大值．

（Ⅱ）證明：假設存在某個，使得直線與曲線相切，

設切點為，又因為，

所以切線滿足斜率，且過點，所以，

即，此方程顯然無解，所以假設不成立．

所以對于任意，直線都不是曲線的切線.

（Ⅲ）解：“曲線與直線的交點個數”等價于“方程的根的個數”.

由方程，得.

令，則，其中，且.考察函數，其中，

因為時，所以函數在單調遞增，且.

而方程中，，且.

所以當時，方程無根；當時，方程有且僅有一根，

故當時，曲線與直線沒有交點，而當時，曲線與直線有且僅有一個交點.