Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，若a、b是方程x²-2

3

x+2=0的兩根，且cosAcosB-sinAsinB=

1

2

；
（1）求角C的大��；
（2）求邊c的長度；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的余弦函數(shù),正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式左邊利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡求出A+B的值，進而確定出C的值；
（2）由a、b是方程x²-2

3

x+2=0的兩根，利用韋達定理表示出a+b與ab，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形后，將a+b與ab的值代入計算即可求出c的值；
（3）由ab及sinC的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）∵cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=

1

2

，
∵A+B∈（0，π），
∴A+B=

π

3

，
∴C=

2π

3

；
（2）∵a、b是方程x²-2

3

x+2=0的兩根，
∴a+b=2

3

，ab=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=10，
則c=

10

；
（3）∵ab=2，sinC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．