Question

求證：n棱柱中過側(cè)棱的對角面的個數(shù)是f(n)=n(n-3).

Answer 1

思路分析：利用“遞推”法，f(k+1)-f(k)來尋找n=k+1比n=k時增加的對角面的個數(shù).

證明：（1）當(dāng)n=4時，四棱柱有2個對角面，×4×(4-3)=2,命題成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N₊,k≥4)時命題成立，即符合條件的棱柱的對角面有f(k)= k(k-3)個，現(xiàn)在考慮n=k+1的情形，第k+1條棱A_k+1B_k+1與其余和它不相鄰的k-2條棱分別增加了1個對角面共k-2個，而面A₁B₁B_kA_k變成了對角面，因此對角面的個數(shù)變?yōu)閒(k)+(k-2)+1=k(k-3)+k-1=(k²-3k+2k-2)

=(k-2)(k+1)=(k+1)［(k+1)-3］

即f(k+1)=(k+1)［(k+1)-3］成立.

由（1）（2）可知，命題對n≥4,n∈N₊都成立.