求證:n(n≥4)棱柱中過(guò)側(cè)棱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)是f(n)=n(n-3).

證明：(1)當(dāng)n=4時(shí),四棱柱有2個(gè)對(duì)角面,結(jié)論?成立.??

(2)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥4)時(shí)命題成立,?

即符合條件的棱柱的對(duì)角面有f(k)=k(k-3)個(gè).現(xiàn)在考慮n=k+1的情形.?

第k+1條棱Ak+1Bk+1與其余和它不相鄰的k-2條棱分別增加了1對(duì)角面共k-2個(gè).而面A1B1BkAk變成了對(duì)角面.因此對(duì)角面的個(gè)數(shù)變?yōu)?I >f(k)+(k-2)+1=k(k-3)+k-1=(k2-3k+2k-2)= (k-2)(k+1)=(k+1)［(k+1)-3)］,即f(k+1)=(k+1)［(k+1)-3］成立.

∴對(duì)任意n≥4時(shí),結(jié)論成立.

溫馨提示

證明幾何問(wèn)題必須要有數(shù)學(xué)模型,要用到一些幾何性質(zhì),還需具備良好的思維能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，AB=2
2
，M，N分別是棱CC1，AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CN⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB1；
（Ⅲ）求三棱錐B1-AMN的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分別為棱DD1、AB、BC的中點(diǎn)．
（1）求二面角B1MNB的正切值；
（2）求證：PB⊥平面MNB1；
（3）若正方體的棱長(zhǎng)為1，畫(huà)出一個(gè)正方體表面展開(kāi)圖，使其滿足“有4個(gè)正方形面相連成一個(gè)長(zhǎng)方形”的條件，并求出展開(kāi)圖中P、B兩點(diǎn)間的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013年浙江省臺(tái)州六校高二上學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分別為棱DD1、AB、BC的中點(diǎn) ．

（1）求二面角B1MNB的正切值；

（2）求證：PB⊥平面MNB1；

（3）若正方體的棱長(zhǎng)為1，畫(huà)出一個(gè)正方體表面展開(kāi)圖，使其滿足“有4個(gè)正方形面相連成一個(gè)長(zhǎng)方形”的條件，并求出展開(kāi)圖中P、B兩點(diǎn)間的距離 ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求證:n(n≥4)棱柱中過(guò)側(cè)棱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)是f(n)=n(n-3).

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