【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)
、
分別在棱
、
上移動(dòng),且
,
.
(1)若,求異面直線
與
所成角的余弦值;
(2)若二面角的大小為
,且
,求
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)推導(dǎo)出平面
,
,
,建立分別以
、
、
為
,
,
軸的空間直角坐標(biāo)系,利用法向量能求出異面直線
與
所成角.
(2
)推導(dǎo)出平面的法向量和平面
的一個(gè)法向量,由二面角
的余弦值,能求出
的值.
在正三棱柱中,取
中點(diǎn)
,取
中點(diǎn)
,連
、
,則
,
,又正三棱柱
中,
平面
,
、
平面
,所以
,
,所以
,
.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
,則
,
,
,
,
,
,
,
,
(1)若,
,
,
,
故異面直線與
所成角的余弦值為
.
(2)由(1)可得,
設(shè)平面的一個(gè)法向量
,則
,取
得:
,
取平面的一個(gè)法向量
,
由二面角的大小為
,且
,得
,
化簡(jiǎn)得,所以
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間
上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)函數(shù)在區(qū)間
上的極值點(diǎn)從小到大分別為
,
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中
.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的反函數(shù)
;
(2)若,求函數(shù)
的值域并寫出函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(3)記函數(shù),若函數(shù)
的最大值為5,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
(1)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=3,且對(duì)任意的x1∈[-1,2],總存在,使g(x1)-f(x2)=0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知位數(shù)滿足下列條件:①各個(gè)數(shù)字只能從集合
中選取;②若其中有數(shù)字4,則在4的前面不含2.將這樣的n位數(shù)的個(gè)數(shù)記為
(1)求;
(2)探究與
之間的關(guān)系,求出數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3)對(duì)于每個(gè)正整數(shù),在
與
之間插入
個(gè)
得到一個(gè)新數(shù)列
,設(shè)
是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,試探究
能否成立?寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)
,滿足
,則稱
為“
類函數(shù)”.
(1)已知函數(shù),試判斷
是否為“
類函數(shù)”?并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)是定義在
上的“
類函數(shù)”,求是實(shí)數(shù)
的最小值;
(3)若
為其定義域上的“
類函數(shù)”,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,若滿足
(
且
),對(duì)于任意的
,都有
,則稱數(shù)列
為“指數(shù)型數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為
,試判斷數(shù)列
是不是“指數(shù)型數(shù)列”;
(2)已知數(shù)列滿足
,
,證明數(shù)列
為等比數(shù)列,并判斷數(shù)列
是否為“指數(shù)型數(shù)列”,若是給出證明,若不是說(shuō)明理由;
(3)若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,且
,證明數(shù)列
中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第二屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)11月初在上海舉行了,在這屆進(jìn)口博覽會(huì)上,某高校派出的4人承擔(dān)了連續(xù)5天的志愿者服務(wù),若每天只安排一人且每人至少參加一天志愿服務(wù),則甲參加2天志愿服務(wù)的概率為________(結(jié)果用數(shù)值表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
設(shè)
,若
為正三角形且周長(zhǎng)為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率為
的直線與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
,是否存在實(shí)數(shù)
使
成立,若存在,求出
的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
兩點(diǎn),
記的面積記為
,求
的取值范圍.
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