Question

【題目】已知函數（）

（1）當，證明；

（2）如果函數有兩個極值點，（），且恒成立，求實數k的取值范圍.

（3）當時，求函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2），（3）時有一個零點，當且時，有兩個零點.

【解析】

（1）只需證明，構造函數，利用導數易得證；
（2）求導后可知的兩根分別為，，進而可得，表示出，構造函數求其在定義域上的最大值即可；
（3）研究可知，再分類討論結合導數及零點存在性定理即可得出結論．

（1）時，等價于證明：

即證，令

，當時，，單調遞減

當時，，單調遞增

∴，∴，證畢!

（2）的兩根分別為，

∴，解得

∴

顯然在上單調遞減.

∴

∴

（3）當時，，令

∴其只有一個正數根，（）

且當時，，單調遞增；當時，，單調遞減

∴最大值

令，

（）

令當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增

∴

∴

①當，即時，，此時只有一個零點

②當，即且時，此時，注意到

（i）當時，，而

令取知

∴在上有一個零點，另一個零點為1

（ii）當，即時，此時取知

∴有一個零點為1，另一零點在上，

故時有一個零點，當且時，有兩個零點.