Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線(xiàn)是，拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)到軸的距離比到準(zhǔn)線(xiàn)的距離少2.

（1）寫(xiě)出焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)的方程；

（2）已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)（均與不重合），直線(xiàn)分別交于點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)的方程為；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由已知得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，從而得拋物線(xiàn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，令,直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，整理后由韋達(dá)定理得，由直線(xiàn)方程求出的坐標(biāo)，計(jì)算即可證得結(jié)論．

解：（1）由題意知，任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到直線(xiàn)的距離，由拋物線(xiàn)的定義得拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，

所以?huà)佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)的方程為；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，令，

聯(lián)立直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程，消去得，

由根與系數(shù)的關(guān)系得：

直線(xiàn)方程為：，

當(dāng)時(shí)，，∴，同理得：，

∴，

∴

，

∴，∴.