Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（1）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在CC₁上是否存在一點E，使得∠BA₁E=45°，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A₁BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明 A₁B⊥面AB₁C₁，得到 A₁B⊥B₁C₁，又 BB₁⊥B₁C₁，從而證得 B₁C₁⊥平面ABB₁A₁ ．
（2）設AB=BB₁=a，CE=x，求出 BE和A₁E，在△A₁BE中，由余弦定理得到 =2a-x，解得x的值，
可知E是C₁C的中點，故DE∥AC₁，由AC₁⊥平面A₁BD，可得DE⊥平面A₁BD，平面ABD⊥平面BDE．
解答：解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵AB=B₁B，∴四邊形ABB₁A₁為正方形，∴A₁B⊥AB₁，
又∵AC₁⊥面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，∴A₁B⊥面AB₁C₁，∴A₁B⊥B₁C₁．
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁ ．
（2）證明：設AB=BB₁=a，CE=x．由AC₁⊥平面A₁BD可得AC₁⊥BD，且AC₁⊥A₁D，
再由直三棱柱的性質可得 CC₁⊥BD，故BD⊥平面ACC₁A₁，故BD⊥AC．
∵D為AC的中點，故△BAC為等腰三角形，∴A₁B=A₁C₁=a．
又∵B₁C₁⊥平面ABB₁A₁ ，B₁C₁⊥A₁B₁，∴B₁C₁=a，BE=，
A₁E==，在△A₁BE中，由余弦定理得BE²=A₁B²+A₁E²-2A₁B•A₁E•cos45°，
即a²+x²=2a²+3a²+x²-2ax-2 •a•，
∴=2a-x，解得x= a，即E是C₁C的中點．
∵D．E分別為AC．C₁C的中點，∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD，又∵DE?平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE．
點評：本題考查證明線面垂直，兩個平面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、兩個平面垂直的判定定理的應用，求出
x的值，是解題的難點．