Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：（）.

（1）若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求直線(xiàn)的方程；

（2）若圓以原點(diǎn)為圓心，1為半徑，直線(xiàn)與，分別相切，切點(diǎn)分別為，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由距離為4可求出進(jìn)而可求出拋物線(xiàn)的方程.設(shè)，，代入到拋物線(xiàn)方程中，兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出的斜率，結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式，可求出直線(xiàn)的方程.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為（），與拋物線(xiàn)、圓的方程聯(lián)立，結(jié)合相切，可求，.設(shè)，通過(guò)切點(diǎn)既在直線(xiàn)上又在拋物線(xiàn)上，可求出，，從而，結(jié)合基本不等式，可求出有最小值.

解：（1）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，得.所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為.

設(shè)，，則，所以，即

.因?yàn)榫�(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以且.所以.

故直線(xiàn)的方程為，即直線(xiàn)的方程為

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為（）.代入，得.（*）

由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切可知，，故.①

又直線(xiàn)與圓相切，所以，即.②

聯(lián)立①②，得，故.

設(shè)，解（*）式可得，，從而.

故，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，為.