Question

若不等式|x-3|+|x+5|-ax＞0（x∈R，a＞0）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：令f（x）=|x-3|+|x+5|=，g（x）=ax，則由題意可得a＞0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，故函數(shù)y=f（x）的圖象必在函數(shù)y=g（x）的圖象的上方，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：令f（x）=|x-3|+|x+5|=

-2x-2，x＜-5 8，-5≤x＜3 2x+2，x≥3

，g（x）=ax，則由題意可得a＞0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，
故函數(shù)y=f（x）的圖象必在函數(shù)y=g（x）的圖象的上方，
如圖所示：
函數(shù)f（x）最右邊的那條射線(xiàn)的斜率為2，
由于點(diǎn)B（3，8），直線(xiàn)OB的斜率為K_OB=

8

3

＞2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為 0＜a≤2，
故答案為：（0，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．