已知幾何體A-BCED（圖1）的三視圖如圖2所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．求：

（Ⅰ）異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（Ⅱ）幾何體E-ACD的體積V的大�。�
（Ⅲ）CD與平面ABD所成的角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）解法1：過點B作BF∥ED交EC于F，連接AF，則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角，在△BAF中，利用余弦定理可求異面直線DE與AB所成的角的余弦值；
（Ⅰ）解法2：以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，可求異面直線DE與AB所成的角的余弦值．
（Ⅱ）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，利用體積公式，可求該幾何體的體積；
（Ⅲ）求出
CD
=（0，4，1）和平面ABD的法向量，利用向量法能求出CD與平面ABD所成的角的正弦值．
解答： （Ⅰ）解法一：過點B作BF∥ED交EC于F，連接AF，
則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．
在△BAF中，∵AB=4
2
，BF=AF=
16+9
=5．
∴cos∠ABF=
BF2+AB2-AF2
2BF•AB
=
25+32-25
2×5×4
2
=
2
2
5
．
即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為
2
2
5
．    
（Ⅰ）解法2：以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系． 
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴
DE
=（0，-4，3），
AB
=（-4，4，0）．
∴cos＜
DE
，
AB
＞=
-16
5×4
2
=-
2
2
5

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為
2
2
5
．
（Ⅱ）解：由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，
且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S梯形BCED=
1
2
×（4+1）×4=10，
∴即該幾何體的體積V=
1
3
×S梯形BCDE×AC=
1
3
×10×4=
40
3
．
（Ⅲ）解：
CD
=（0，4，1），
AB
=(-4，4，0)，
AD
=(-4，4，1)，
設(shè)平面ABD的法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
AB
=-4x+4y=0
n
•
AD
=-4x+4y+z=0
，取x=1，得
n
=（1，1，0），
設(shè)CD與平面ABD所成的角為θ，
sinθ=|cos＜
CD
，
n
＞|=|
4
17
×
2
|=
2
34
17
．
∴CD與平面ABD所成的角的正弦值為
2
34
17
．
點評：本題考查幾何體體積的計算，考查線線角，考查利用向量法解決空間角，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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．

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3
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2
，AA′=1，點M、N分別為A′B，B′C′的中點
（1）證明：平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）求直線MN與平面AA′B′B所成角的正切值；
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已知p≠0，數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=pan+1-p（n∈N*）
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（2）bn=2-qn-1（n∈N*），當(dāng)n≥2時，p，q都在區(qū)間（0，1）內(nèi)變化，且滿足p2n-2+q2n-2≤1時，求所有點（an，bn）所構(gòu)成圖形的面積；
（3）當(dāng)p＞1時，證明：
n
p
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n+1
p
（n∈N*）

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在△ABC中，B=45°，AC=
10
，cosC=
2
5
5
．
（Ⅰ）求sinA的值和邊AB的長；
（Ⅱ）設(shè)AB的中點為D，求中線CD的長．

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